莱布尼茨公式怎么应用

莱布尼茨公式是用于计算交错级数求和的数学工具。下面我将提供一个莱布尼茨公式的应用实例，并解释其解题思路。

例题：计算交错级数求和

# 级数表达式

给定交错级数：

$$

\\sum_{n=0}^{\\infty} （-1）^{n+1} x^n

$$

# 应用莱布尼茨公式

莱布尼茨公式用于计算交错级数的和，其一般形式为：

$$

S = a_0 + \\sum_{n=1}^{\\infty} （a_{n-1} - a_n）

$$

其中，$a_n$ 是级数的第 $n$ 项。

对于给定的级数，我们有：

$$

a_n = （-1）^{n+1} x^n

$$

# 计算过程

1. 确定首项 $a_0$：

$$

a_0 = （-1）^{0+1} x^0 = -1

$$

2. 应用莱布尼茨公式计算级数和：

$$

S = -1 + \\sum_{n=1}^{\\infty} [（-1）^{n} x^{n-1} - （-1）^{n+1} x^n]

$$

$$

S = -1 + \\sum_{n=1}^{\\infty} [（-1）^{n} x^{n-1} + （-1）^{n+1} x^n]

$$

$$

S = -1 + \\sum_{n=1}^{\\infty} [（-1）^{n-1} x^{n-1} + （-1）^{n} x^n]

$$

3. 注意到级数中的项可以两两抵消：

$$

S = -1 + \\left（ x + x^2 + x^3 + \\ldots \\right） - \\left（ x^2 + x^3 + x^4 + \\ldots \\right）

$$

$$

S = -1 + x - x^2 + x^3 - x^4 + \\ldots

$$

4. 级数简化为几何级数：

$$

S = -1 + x \\left（ 1 - x + x^2 - x^3 + \\ldots \\right）

$$

5. 几何级数求和公式为：

$$

\\sum_{n=0}^{\\infty} r^n = \\frac{1}{1-r} \\quad \\text{当} \\quad |r| < 1

$$

6. 应用几何级数求和公式：

$$

S = -1 + x \\cdot \\frac{1}{1 - x}

$$

$$

S = \\frac{-1 + x}{1 - x}

$$

# 收敛性条件

需要注意的是，级数收敛的条件是 $|x| < 1$，否则级数发散。

# 结论

因此，给定交错级数的和为：

$$

S = \\frac{-1 + x}{1 - x} \\quad \\text{当} \\quad |x| < 1

$$

这个结果展示了如何使用莱布尼茨公式来计算一个特定交错级数的和。

其他小伙伴的相似问题：

莱布尼茨公式在哪个数学章节中介绍？

莱布尼茨公式如何应用于实际问题？

牛顿莱布尼茨公式与莱布尼茨公式有何关系？